ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Στοχαστική Ανάλυση
1. Γενικά
Σχολή
Τμήμα
Επίπεδο Σπουδών
Κωδικός Μαθήματος
Εξάμηνο Σπουδών
Τίτλος Μαθήματος
Αυτοτελείς
Διδακτικές Δραστηριότητες
Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας
Πιστωτικές
Μονάδες
Τύπος Μαθήματος
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
Το μάθημα προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus;
Url (Eclass)
2. Μαθησιακά Αποτελέσματα
Μαθησιακά Αποτελέσματα
Δίνεται η δυνατότητα στους φοιτητές να εμβαθύνουν περισσότερο σε γνωστές τους έννοιες από τη Θεωρία Πιθανοτήτων και να κατανοήσουν και να εξοικειωθούν με νέες έννοιες και θεωρητικές κατασκευές όπως η δέσμευση μέσης τιμής ως προς μια δομή πληροφορίας (σ-άλγεβρα), οι διαδικασίες Martingale και η κίνηση Brown, η ολοκλήρωση κατά Itô, κ.α. Στόχος του μαθήματος είναι η κατανόηση των βασικών εργαλείων και εννοιών της Στοχαστικής Ανάλυσης ώστε να είναι σε θέση να αντιλαμβάνονται τη χρησιμότητας τους στα ασφαλιστικά, στα αναλογιστικά και στα χρηματοοικονομικά.
Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση:
- να αντιλαμβάνονται και να χρησιμοποιούν την γενικότερη κατασκευή του μέτρου
- να κατανοούν την έννοια της δομής πληροφορίας (σ-άλγεβρα) και να μπορούν να εκτελούν πράξεις υπό την δέσμευση της
- να κατανοούν την τυχαία συμπεριφορά που ορίζει μια διαδικασία martingale, τις ιδιότητες της και να μπορούν να εντοπίζουν τέτοιου τύπου συμπεριφορές στα χρηματοοικονομικά, τα ασφαλιστικά και σε άλλα πεδία εφαρμογών (π.χ. οικονομικά, περιβάλλον, κ.α.)
- να μπορούν να χρησιμοποιήσουν την κίνηση Brown στην μοντελοποίηση στοχαστικών φαινομένων κατανοώντας τις δυνατότητες και τα όρια που έχει αυτή η προσέγγιση
- να κατανοούν το είδος της διαφορετικής προσέγγισης που προσφέρει η ολοκλήρωση κατά Itô, τις ιδιότητες αυτού του ολοκληρώματος και τον κεντρικό ρόλο που έχει στα στοχαστικά χρηματοοικονομικά και ασφαλιστικά μέσα από βασικά μοντέλα.
Γενικές Ικανότητες
- Αυτόνομη εργασία
- Ομαδική εργασία
- Παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών
- Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης
3. Περιεχόμενο Μαθήματος
- Στοιχεία θεωρίας μέτρου και πιθανοτήτων: δομές πληροφορίας, τυχαίες μεταβλητές και επαγόμενες δομές πληροφορίας, μετρησιμότητα τυχαίων μεταβλητών και επαγόμενα μέτρα πιθανότητας.
- Χώροι μέτρου πιθανότητας, ολοκλήρωση ως προς μέτρο πιθανότητας, θεωρήματα σύγκλισης, υπό συνθήκη μέση τιμή, ιδιότητες, δέσμευση ως προς ενδεχόμενα, δέσμευση ως προς τυχαία μεταβλητή, δέσμευση ως προς σ-άλγεβρα.
- Διαδικασίες Martingale, διηθήσεις, βασικές ιδιότητες και παραδείγματα από Martingales στο διακριτό πλαίσιο (απλός τυχαίος περίπατος και διαδικασίες Markov), χρόνοι στάσης, αποτελέσματα σύγκλισης και ανισότητες Martingales, η κίνηση Brown, βασικές ιδιότητες, προσαυξήσει και τροχιές, σχήματα προσομοίωσης.
- Στοχαστικές διαδικασίες Itô, το ολοκλήρωμα του Itô, ιδιότητες και το λήμμα του Itô για στοχαστικές διαδικασίες διάχυσης, στοχαστική μοντελοποίηση βασικών υποδειγμάτων από τα χρηματοοικονομικά και τον αναλογισμό, σχήματα προσομοίωσης.
4. Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
Τρόπος Παράδοσης
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
- Υποστήριξη διδασκαλίας μέσω ηλεκτρονικής πλατφόρμας (e–class)
- Χρήση προβολικού και διαφανειών
- Επικοινωνία με τους/τις φοιτητές/τριες μέσω email αλλά και πλατφορμών όπως το MS Teams
- Χρήση στατιστικών πακέτων
Οργάνωση Διδασκαλίας
Δραστηριότητα
Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
Αξιολόγηση Φοιτητών
Μέθοδοι αξιολόγησης: Γραπτή εξέταση, παράδοση εργασιών (προαιρετική).
Ο τελικός βαθμός (ΤΒ) προκύπτει από το βαθμό των εργασιών (ΒΕ) και το βαθμό στην τελική εξέταση (ΤΕ), σύμφωνα με τον τύπο
ΤΒ = max{TE, 0,30*BΕ+0,70*ΤΕ}.
Το τελικό διαγώνισμα βασίζεται σε ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, σύντομης απάντησης και επίλυσης προβλημάτων.
Για φοιτητές ERASMUS+ υπάρχει η δυνατότητα αξιολόγησης & εξέτασης με απαλλακτική εργασία ή take home exam.
5. Βιβλιογραφία
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
Προτεινόμενα συγγράμματα:
- Βασιλείου, Π.-Χ., Γ. (2001). Στοχαστικά Χρηματοοικονομικά, Εκδόσεις Ζήτη (Κωδικός Εύδοξου: 11280)
- Γιαννακόπουλος, Α. Ν. (2003). Στοχαστική Ανάλυση και Εφαρμογές στην Χρηματοοικονομική, Πανεπιστημιακές Σημειώσεις (Διαθέσιμες online)
- Χελιώτης, Δ. (2015). Εισαγωγή στο Στοχαστικό Λογισμό, Πανεπιστημιακές Σημειώσεις (Διαθέσιμες online)
Σχετική Βιβλιογραφία:
- Brzezniak, Z., Zastawniak, T. (2000). Basic stochastic processes: a course through exercises. Springer Science & Business Media.
- Capiński, M., & Kopp, P. E. (2004). Measure, integral and probability (Vol. 14). Springer.
- Choe, G. H. (2016). Stochastic analysis for finance with simulations, Springer.
- Karatzas, I., Shreve, S. (2014). Brownian motion and stochastic calculus, Springer.
- Klebaner, F. C. (2005). Introduction to stochastic calculus with applications, Imperial College Press.
- Shreve, S. E. (2004). Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models (Vol. 11). Springer.